Ιστιοπλοϊκά Μαθηματικά

Μερκατορική Απεικόνιση

Thu, 22 Jan 2026 00:00:00 +0000

Ένας τρόπος για να μεταφέρουμε την υδρόγειο σφαίρα στο επίπεδο είναι με την μερκατορική απεικόνιση.

Με την μερκατορική απεικόνιση παίρνουμε χάρτες που έχουν:

Ευθείες οριζόντιες γραμμές γεωγραφικού πλάτους,

Ευθείες κατακόρυφες γραμμές γεωγραφικού μήκους,

Οι αποστάσεις μεταξύ των γραμμών γεωγραφικού μήκους παραμένουν ίδιες σε όλο τον χάρτη,

Οι αποστάσεις μεταξύ των γραμμών γεωγραφικού πλάτους διαφέρουν. Διεφέρουν έτσι ώστε, σημειακά ο χάρτης να ταυτίζεται γεωμετρικά με την ιδρόγειο.

Υπάρχει μία και μόνο μία απεικόνιση από την υδρόγειο σφαίρα (γεωγραφικό μήκος και πλάτος) στο καρτεσιανό επίπεδο που ικανοποιεί τα παραπάνω αιτήματα. Είναι η παρακάτω απεικόνιση:

Μερκατορική Απεικόνιση:

\(θ \longmapsto x(θ) = ρ \cdot θ \)

\(φ \longmapsto y(φ) = ρ \cdot ln( \frac{1}{συν(φ)} + εφ(φ) ) \)

όπου \( θ \) είναι οι μοίρες γεωγραφικού μήκους, \(φ\) οι μοιρες γεωγραφικού πλάτους και \( ρ \) συντελεστής κλίμακας.

H \(y\) απεικόνιση προκείπτει από επίλυση της διαφορικής εξίσωσης: \[ \frac{dy}{dφ} = \frac{1}{συν(φ)} \] Η διαφορική εξίσωση δεν είναι τιποτε άλλο από απαίτηση ο χάρτης σημειακά να ταυτίζεται με την υδρόγειο. Δηλαδή οταν μελετάμε μικρές περιοχές του χάρτη να μήν είναι παραμορφομένες.

Αν καταλάβατε μέχρι εδώ μπορείτε να παρακάμψετε την επόμενη παράγραφο.

Κυλινδρική απεικόνιση ⚠

Ποτέ μα ποτέ μην πειστείτε πως ο μερκατορικός χάρτης είναι το αποτέλεσμα τυλίγματος της γής σε έναν κύλινδρο. Υπάρχουν πολλά σχήματα στο διαδίχτιο αλλά και σε βιβλία που απεικονίζουν ευθείες γραμμές που ξεκινούν από το κέντρο της γής, σχίζουν την επιφάνειά της και καταλήγουν στον κύλινδρο.

Ναι είναι εύκολο στην κατανόηση.

ΑΛΛΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΣΩΣΤΟ. Ο ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ ΕΙΝΑΙ ΧΑΡΤΗΣ ΜΕ ΠΑΡΑΜΟΦΟΜΕΝΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ. Ο ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΜΕΡΚΑΤΟΡΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ

H κυλινδρική απεικόνιση (μάλλον άχρηστη) εκφράζεται παρκάτω:

\(θ \longmapsto x(θ) = ρ \cdot θ \)

\(φ \longmapsto y(φ) = ρ \cdot εφ(φ) \)

όπου \( θ \) είναι οι μοίρες γεωγραφικού μήκους, \(φ\) οι μοιρες γεωγραφικού πλάτους και \( ρ \) συντελεστής κλίμακας.

Υπολογισμός απόστασης μετάκεντρου και κέντρου άνωσης σκάφους

Wed, 21 Jan 2026 00:00:00 +0000

Με απλά λόγια: \[BM = \frac{I_{wl}}{\nabla} \] όπου:

\(BM\) η απόσταση μετάκεντρου και κέντρου άνωσης σκάφους

\(I_{wl}\) η ροπή αδράνειας επιφάνειας της τομής γάστρας και επιπέδου της θάλασσας

\( \nabla \) ο όγκος του σκάφους που βρίσκεται μέσα στο νερό.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα υποθέσουμε οτι το σκάφος δεν έχει μήκος και θα δουλέψουμε στην γεωμετρία των δύο διαστάσεων που βλέπουμε στο σχήμα.

Στο σχήμα βλέπουμε μια μικρή μεταβολή στο σκάφος κατά την γωνία \(α\). Η μπλε διακεκομένη γραμμή είναι η θάλασσα μετά την μεταβολή \(α\).

Η παρακάτω εξίσωση θα μπορούσε να είναι ο ορισμός του μετακέντρου:

\begin{equation} BB’ = α \cdot BM \label{eq:clock} \end{equation}

Με την μεταβόλη κατα \(α\) μοίρες το κέντρο άνωσης μετατοπίζεται. Μπορούμε να υπολογίσουμε την μετατόπηση ολοκληρόνοντας!!

\[BB’ \approx \frac{\int_{O\overset{\triangle}{L}L’} r dA}{\nabla} + \frac{\int_{O\overset{\triangle}{R}R’} r dA}{\nabla}\]

όπου \(r\) η απόσταση από το σημείο \(O\).

Συνεπώς:

\[ BB’ \approx \frac{\int_0^{OL} α’ \cdot r \cdot r dr}{\nabla} + \frac{\int_0^{OR} α’’ \cdot r \cdot r dr}{\nabla} \] Είναι εύκολο να αποδείξουμε πως \(α = α’ = α’’ \)

άρα:

\[ BB’ \approx α \frac{\int_0^{OL} r^2 dr}{\nabla} + α \frac{\int_0^{OR} r^2 dr}{\nabla} \] ή \[ BB’ \approx α \frac{\int_0^{OL} r^2 dr + \int_0^{OR} r^2 dr}{\nabla} \] ή \begin{equation} BB’ \approx α \frac{I_{wl}}{\nabla} \label{eq:wl} \end{equation}

Συνδιάζοντας τις σχέσεις \eqref{eq:clock} \eqref{eq:wl} καταλήγουμε στο υπέροχο συμπέρασμα.

\begin{equation} BM \approx \frac{I_{wl}}{\nabla} \end{equation}

Εξάντας και Αστροναυτιλία

Sun, 28 Dec 2025 00:00:00 +0000

Ο εξάντας είναι ένα όργανο που μετρά την γωνία μεταξύ δύο ορατών σημείων. Στην αστροναυτιλία χρησιμοποιήται συνήθως για την μέτρηση της γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ ενος ουράνιου σώματως (αστέρα ή πλανήτη) και του ορίζοντα της θαλασσας.

Στο παρακάτω σχήμα με πορτοκαλί βέλη συμβολίζονται οι ακτίνες του ηλίου (ή οποιουδήποτε ουράνιου σώματος). Με τον κύκλο συμβολίζεται η σφαιρική γή. Πάνω στον κύκλο έχουμε σημειώσει δύο σημεία: το “ΑΝ” για τον άνθρωπο που κάνει την μέτρηση και το “ΑΣ” για το σημείο όπου το αστρικό σώμα βρίσκεται κατακόρυφα προς τα πάνω. Αν το ουράνιο σώμα είναι πάρα πολύ μακριά (μακρύτερα από ότι στο σχήμα) τότε οι ακτίνες τείνουν να είναι σχεδόν παράλληλες σε διαφορετικά σημεία της γής.

Στο σημείο “ΑΝ” κάποιος κάνει μια μέτρηση γωνίας του ήλιου και ορίζοντα και βρήσκει τη γωνία \(α=60^ο\) μοίρες. Η γωνία μεταξύ του ορίζοντα και της κατακόρυφης ευθείας είναι \(90^ο\) άρα η γωνία \(β\) στο σχήμα είναι \(β = 90^ο - α = 90^ο - 30^ο = 60^ο\)

Οι γωνίες \(β\) και \(β’\) είναι ίσες. Συνεπώς ο άνθρωπος που έκανε την μέτρηση στο σημείο \(‘ΑΝ’\) βρίσκεται σε απόσταση 30 μοιρών από το σημείο ‘ΑΣ’. Αν ξέρουμε που είναι το σημείο ‘ΑΣ’ μπορούμε να σχεδιάσουμε στην υδρόγειο έναν κύκλό πάνω στον οποίο βρισκόμαστε.

Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία με άλλο ουράνιο σώμα και σχεδιάζουμε ένα νέο κύκλο. Ο νέος κύκλος τέμνει τον προηγούμενο σε δύο σημεία. Βρισκόμαστε σε ένα από αυτά τα δύο σημεία τομής.

Ο παραπάνω υπολογισμός αγνοεί κάποια σφάλματα λόγω διάθλασης. Επίσης απαιτεί χρήση υδρόγειου σφαίρας κατά προτίμηση σε μεγάλο μέγεθος. Στην πράξη όταν κάνουμε αστροναυτιλία η διαδικασία μπορεί να γίνει λίγο διαφορετική ώστε να έχουμε μεγαλύτερη ακρύβεια και να αποφύγουμε την χρήση σφαίρας.

Υπολογισμός περιμέτρου της γης

Mon, 01 Jul 2024 00:00:00 +0000

Η πρώτη ιστορικά τεκμηριωμένη μέτρηση της περιμέτρου της Γης αποδίδεται στον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο, τον 3ο αι. π.Χ.

Για τη μέθοδο αυτή χρειάζεται:

Ένα σημείο στη γη όπου για κάποια χρονική στιγμή ο ήλιος πέφτει εντελώς κάθετα (σημείο Α στο σχήμα).
Ένα άλλο σημείο Β στη γη και η γνώση της απόστασης ΑΒ.
Μέτρηση της γωνίας πρόσπτωσης του ήλιου στο σημείο Β (γωνία α στο σχήμα) τη χρονική στιγμή που ο ήλιος πέφτει κάθετα στο σημείο Α.

Η περίμετρος της γης υπολογίζεται από τον τύπο: \[περίμετρος = ΑΒ \cdot \frac{360}{α} \]

Ο παραπάνω υπολογισμός έχει μια παραδοχή. Θεωρούμε πως οι ακτίνες του ήλιου είναι παράλληλες μεταξύ τους. Στην πραγματικότητα έχουν μια μικρή απόκλιση.

Ορατός ορίζοντας

Wed, 12 Oct 2022 00:00:00 +0000

Εισαγωγή

O ορατός ορίζοντας είναι περιορισμένος λόγω της καμπυλότητας της γης. Η απόσταση που μπορεί να δει ένας παρατηρητής, όταν η ατμόσφαιρα είναι καθαρή, εξαρτάται από το ύψος του από την επιφάνεια της θάλασσας. Όσο πιο ψηλά βρίσκεται τόσο πιο μακριά μπορεί να δει. Πιο συγκεκριμένα ο ορατός ορίζοντας σε ναυτικά μίλια είναι 1.9 επί την τετραγωνική ρίζα του ύψους από την επιφάνεια της θάλασσας σε μέτρα.

Με άλλα λόγια: \[α = 1.9 \cdot \sqrt{ υ_μ }\] όπου \(α\) ο ορατός ορίζοντας σε ναυτικά μίλια και \(υ_μ\) το ύψος του παρατηρητή από την επιφάνεια της θάλασσας σε μέτρα.

Για παράδειγμα από ύψος 4 μέτρων ο ορατός ορίζοντας είναι:

\( α = 1.9 \cdot \sqrt{ υ_μ } = 1.9 \cdot \sqrt{4} = 1.9 \cdot 2 = 3.8\) ναυτικά μίλια.

Γιατί αυτός ο μαθηματικός τύπος;;; Από πού προκύπτει;;; Για να καταλάβουμε θα χρειαστεί να ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα

Ορισμοί

Αν κοιτάμε μόνο προς μία συγκεκριμένη πορεία τότε μπορούμε να σκεφτούμε την γη σαν ένα κύκλο

Θεωρούμε τα παρακάτω:

Κ το κέντρο της γης
Μ το μάτι του παρατηρητή
Π το σημείο του παρατηρητή στην επιφάνεια της θάλασσας (Πατούσες παρατηρητή)
Θ το τελευταίο σημείο που του ορίζοντα που μπορεί να δεί ο παρατηρητής
ρ η ακτίνα της γής
α η απόσταση του οριζοντα που μπορεί να δει ο παρατηρητής
υ το ύψος από την επιφάνεια της θάλασσας που βλέπει ο παρατηρητής

Συλλογισμοί

Από Πυθαγόρειο θεώρημα: \[ρ^2 + α^2 = (ρ + υ)^2\] \[ρ^2 + α^2 = ρ^2 + 2ρυ + υ^2\] \[α^2 = 2ρυ + υ^2\] \[α^2 = 2ρυ + υ^2\] \[α = \sqrt{2ρυ + υ^2}\]

Ο όρος \(υ^2\) μπορεί να επηρεάσει την απόσταση α κατά πολύ λιγότερο από το μέγεθος του υ. Με άλλα λόγια αν ανέβουμε σε ένα πύργο ύψους 100 μέτρων αυτός ο όρος υ^2 γίνεται 10000 μέτρα και αυξάνει το αποτέλεσμα του α πολύ πολύ λιγότερο από 100 μέτρα.Συνεπώς για λόγους απλούστευσης φεύγει.

\[α \approx \sqrt{2ρυ}\]

Καιρός να υπολογίσουμε την ακτίνα της γής σε ναυτικά μίλια ώστε να την αντικαταστήσουμε στον τύπο μας.

\[2\cdot\pi\cdotρ = 360 \cdot 60\] \[ρ = \frac{360 \cdot 60}{2\cdot\pi}\] \[ρ \approx 3438\]

Συνεπώς αντικαθιστώντας στον τύπο μας \(α \approx \sqrt{2ρυ}\) έχουμε τον παρακάτω τύπο όπου καί το ύψος \(υ\) και η απόσταση \(α\) είναι σε ναυτικά μίλια: \[α = \sqrt{2 \cdot 3438 \cdot υ}\] Αν θέλουμε το ύψος να είναι σε μέτρα θα πρέπει να μετατρέψουμε τα μέτρα σε μίλια διαιρώντας με 1852 δηλαδή \(υ=υ_μ / 1852\)έχουμε \[α = \sqrt{2 \cdot 3438 \cdot \frac{υ_μ}{1852}}\] \[α \approx \sqrt{3.712 \cdot υ_μ}\] \[α \approx 1.9 \cdot \sqrt{υ_μ}\]