Εισαγωγή

O ορατός ορίζοντας είναι περιορισμένος λόγω της καμπυλότητας της γης. Η απόσταση που μπορεί να δει ένας παρατηρητής, όταν η ατμόσφαιρα είναι καθαρή, εξαρτάται από το ύψος του από την επιφάνεια της θάλασσας. Όσο πιο ψηλά βρίσκεται τόσο πιο μακριά μπορεί να δει. Πιο συγκεκριμένα ο ορατός ορίζοντας σε ναυτικά μίλια είναι 1.9 επί την τετραγωνική ρίζα του ύψους από την επιφάνεια της θάλασσας σε μέτρα.

Με άλλα λόγια: \[α = 1.9 \cdot \sqrt{ υ_μ }\] όπου \(α\) ο ορατός ορίζοντας σε ναυτικά μίλια και \(υ_μ\) το ύψος του παρατηρητή από την επιφάνεια της θάλασσας σε μέτρα.

Για παράδειγμα από ύψος 4 μέτρων ο ορατός ορίζοντας είναι:

\( α = 1.9 \cdot \sqrt{ υ_μ } = 1.9 \cdot \sqrt{4} = 1.9 \cdot 2 = 3.8\) ναυτικά μίλια.

Γιατί αυτός ο μαθηματικός τύπος;;; Από πού προκύπτει;;; Για να καταλάβουμε θα χρειαστεί να ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα

Ορισμοί

Αν κοιτάμε μόνο προς μία συγκεκριμένη πορεία τότε μπορούμε να σκεφτούμε την γη σαν ένα κύκλο

name of the image

Θεωρούμε τα παρακάτω:

  • Κ το κέντρο της γης
  • Μ το μάτι του παρατηρητή
  • Π το σημείο του παρατηρητή στην επιφάνεια της θάλασσας (Πατούσες παρατηρητή)
  • Θ το τελευταίο σημείο που του ορίζοντα που μπορεί να δεί ο παρατηρητής
  • ρ η ακτίνα της γής
  • α η απόσταση του οριζοντα που μπορεί να δει ο παρατηρητής
  • υ το ύψος από την επιφάνεια της θάλασσας που βλέπει ο παρατηρητής

Συλλογισμοί

Από Πυθαγόρειο θεώρημα: \[ρ^2 + α^2 = (ρ + υ)^2\] \[ρ^2 + α^2 = ρ^2 + 2ρυ + υ^2\] \[α^2 = 2ρυ + υ^2\] \[α^2 = 2ρυ + υ^2\] \[α = \sqrt{2ρυ + υ^2}\]

Ο όρος \(υ^2\) μπορεί να επηρεάσει την απόσταση α κατά πολύ λιγότερο από το μέγεθος του υ. Με άλλα λόγια αν ανέβουμε σε ένα πύργο ύψους 100 μέτρων αυτός ο όρος υ^2 γίνεται 10000 μέτρα και αυξάνει το αποτέλεσμα του α πολύ πολύ λιγότερο από 100 μέτρα.Συνεπώς για λόγους απλούστευσης φεύγει.

\[α \approx \sqrt{2ρυ}\]

Καιρός να υπολογίσουμε την ακτίνα της γής σε ναυτικά μίλια ώστε να την αντικαταστήσουμε στον τύπο μας.

\[2\cdot\pi\cdotρ = 360 \cdot 60\] \[ρ = \frac{360 \cdot 60}{2\cdot\pi}\] \[ρ \approx 3438\]

Συνεπώς αντικαθιστώντας στον τύπο μας \(α \approx \sqrt{2ρυ}\) έχουμε τον παρακάτω τύπο όπου καί το ύψος \(υ\) και η απόσταση \(α\) είναι σε ναυτικά μίλια: \[α = \sqrt{2 \cdot 3438 \cdot υ}\] Αν θέλουμε το ύψος να είναι σε μέτρα θα πρέπει να μετατρέψουμε τα μέτρα σε μίλια διαιρώντας με 1852 δηλαδή \(υ=υ_μ / 1852\)έχουμε \[α = \sqrt{2 \cdot 3438 \cdot \frac{υ_μ}{1852}}\] \[α \approx \sqrt{3.712 \cdot υ_μ}\] \[α \approx 1.9 \cdot \sqrt{υ_μ}\]